Wurzelgesetze

Kapitel aktualisiert am 23.08.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Wurzelgesetze als Teil der Wurzelrechnung im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir die grundlegenden Wurzelbegriffe, wie du Wurzeln addierst, subtrahierst, multiplizierst, dividierst, potenzierst und radierst, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Merke: \( \sqrt[n]{a} \) heißt die n-te Wurzel von a. Die n-te Wurzel von a gibt an, wie oft du eine Zahl mit sich selbst multiplizieren musst, damit a rauskommt.

Zunächst einmal einige Wurzelbegriffe:

\( \sqrt[n]{x^m} \)
  • \( \sqrt{} \): Wurzelzeichen
  • \(n\): Wurzelexponent
  • \(m\): Exponent
  • \(x^m\): Radikand (das, was unter der Wurzel steht)

Spezielle Wurzeln:

  • Die erste Wurzel: \( \sqrt[1]{a} = a \)
  • Die Quadratwurzel: \( \sqrt[2]{a} =\sqrt{a} \)
  • Die Kubikwurzel: \( \sqrt[3]{a} \)

Wurzel aus 0: \( \sqrt{0} = 0 \)

Zusammenhang zwischen Wurzeln und Potenzen

Wurzeln kannst auch als Potenzen schreiben. Gerade wenn du beispielsweise ableiten musst, ist es eine sehr hilfreiche Umschreibung, die Wurzel zu vereinfachen. Allgemein gilt: \( \sqrt [n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} \)

Sprich: Wenn du Wurzel x umschreiben möchtest, musst du auf den Exponenten m und den Wurzelexponenten n von x achten.

Schauen wir uns nun die Wurzelregeln an:

Je nachdem, ob du Wurzeln addierst, subtrahierst, multiplizierst, … usw. gibt es verschiedene Rechenregeln für die Wurzel:

Wurzeln addieren

Angenommen, du musst die Wurzel aus 3 mit der Wurzel aus 2 addieren:

Dann musst du folgende Regel beachten:

\( \sqrt{3} + \sqrt{2} \neq \sqrt{5} \) !

Damit du Wurzeln addieren darfst, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

  • Gleicher Radikand
  • Gleicher Wurzelexponent

Dann gilt: \( a\cdot \sqrt[n]{x} + b\cdot \sqrt[n]{x} = (a+b) \cdot  \sqrt[n]{x} \)

Beispiel: \( 3\cdot \sqrt[2]{9} + 2\cdot \sqrt[2]{9} = 5 \cdot \sqrt[2]{9} \)

Wurzeln subtrahieren

\( \sqrt{3} – \sqrt{2} \neq \sqrt{1} \) !

Damit du Wurzeln subtrahieren darfst, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

  • Gleicher Radikand
  • Gleicher Wurzelexponent

Dann gilt: \( a\cdot \sqrt[n]{a} – b\cdot \sqrt[n]{x} = (a-b) \cdot  \sqrt[n]{x} \)

Beispiel: \( 3\cdot \sqrt[2]{9} – 2\cdot \sqrt[2]{9} = (2-1) \cdot \sqrt{9} \)

Wurzeln multiplizieren

Damit du Wurzeln multiplizieren darfst, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

  • Gleicher Wurzelexponent
  • \( a \cdot b \geq 0 \)

Dann gilt: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \)

Beispiel: \( \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{2 \cdot 3} \)

Wurzeln dividieren

Damit du Wurzeln multiplizieren darfst, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

  • Gleicher Wurzelexponent

Dann gilt: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \)

Beispiel: \( \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\frac{4}{5}} \)

Wurzeln potenzieren

Wenn ein Exponent außerhalb der Wurzel steht, kannst du ihn auch in die Wurzel reinschreiben:

Es gilt: \( (\sqrt[n]{x})^m = (\sqrt[n]{x^m}) \)

Beispiel: \( (\sqrt[3]{2})^5 = \sqrt[3]{2^5} \)

Wurzeln radieren

Wenn du zweimal Wurzel ziehen musst, kannst du die beiden Wurzelexponenten auch multiplizieren und nur einmal die Wurzel mit dem entsprechenden Wurzelexponenten ziehen.

Es gilt: \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x} \)

Beispiel: \( \sqrt[3]{\sqrt[2]{64}} = \sqrt[3 \cdot 2]{64} \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Wurzelrechnung mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Vereinfache die folgenden Wurzeln und berechne sie:

  1. \( 4\cdot \sqrt[2]{9} + 5\cdot \sqrt[2]{9} \)
  2. \( 2\cdot \sqrt[3]{8} + 3\cdot \sqrt[3]{8} \)
  3. \( 5\cdot \sqrt[2]{4} – 3\cdot \sqrt[2]{4}  \)
  4. \( 4\cdot \sqrt[2]{0} – 1\cdot \sqrt[2]{0} \)
  5. \( \sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[2]{16} \)
  6. \( \sqrt[3]{1} \cdot \sqrt[3]{8}  \)
  7. \( \frac{\sqrt[2]{1}}{\sqrt[2]{4}} \)
  8. \( \frac{\sqrt[2]{25}}{\sqrt[2]{16}} \)
  9. \( (\sqrt[2]{4})^3 \)
  10. \( \sqrt[2]{\sqrt[2]{16}} \)  
Lösungen
  1. \( 27 \)
  2. \( 10 \)
  3. \( 4 \)
  4. \( 0 \)
  5. \( 8 \)
  6. \( 2 \)
  7. \( 0,5 \)
  8. \( 1,25 \)
  9. \( 8 \)
  10. \( 2 \)
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