Zahlensysteme

Kapitel aktualisiert am 03.10.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Zahlensysteme als Teil der Darstellungen im Bereich der Zahlentheorie. Wir erklären dir, was es für verschiedene Zahlensysteme gibt, erläutern, wie man diese ineinander umrechnet, geben dir Beispiele und anschließend Aufgaben zum Lernen mit Lösungen.

Rechner für Zahlensysteme

Von dem Zahlensystem

mit dem Wert

umrechnen in das Zahlensystem


Ergebnis

Grundlegendes zu Zahlensystemen

Wenn wir einundzwanzig Äpfel vor uns liegen haben, sind wir es gewohnt diese Zahl als 21 aufzuschreiben.

Dabei bemerken wir kaum noch, dass dahinter eine Annahme steckt. Warum schreiben wir einundzwanzig als 21 und nicht als 13, 25 oder 99?

Das heißt, bevor wir die Zahl als 21 aufschreiben können, müssen wir uns die Frage stellen, wie wir die abstrakte Zahl einundzwanzig überhaupt darstellen wollen.

Das klingt erstmal ziemlich unsinnig, aber die Antwort auf die Frage hängt entscheidend davon ab, wieviele unterschiedliche Ziffern es überhaupt gibt.

Gehen wir die natürlichen Zahlen einmal durch: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…

Die zehn ist die erste Zahl, die kein neues Symbol mehr erhalten hat. Sie ist eine zusammengesetzte Zahl.

Wenn wir bei der zehn angelangt sind, fügen wir an die erste Stelle der Zahl eine 1 als Platzhalter ein, meine damit aber implizit eine 10. Für die Zahl 22 bedeutet das, dass wir 2 mal 10 und 2 mal eins rechnen. Für die 112, dass wir einmal eine 100 (10 mal 10), eine 10 (1 mal 10) und eine zwei zusammensetzen.

Basiszahl

Das bedeutet im Umkehrschluss, dass in unserem Zahlensystem die 10 eine besondere Rolle spielt. Tatsächlich reden wir dann davon, dass die 10 die Basiszahl unseres Zahlensystems ist.

Es wäre aber prinzipiell auch möglich, dass eine andere Zahl diese besondere Funktion einnimmt. Aus Gewohnheit vergessen wir manchmal, die Zahlen immer auf gleiche Art zu schreiben.

Auch wenn du es vielleicht nicht denkst, gibt trotzdem es ein Alltagsbeispiel, an dem sich nachvollziehen lässt, wie andere Zahlensysteme funktionieren.

Wenn wir nicht einfach von Zahlen reden, sondern von Minuten, dann schreiben wir: 0 Minuten, 1 Minute, … 10 Minuten, … 57 Minuten, 58 Minuten, 59 Minuten, 1 Stunde 0 Minuten, 1 Stunde 1 Minute…

Das heißt, für Minuten spielt die 60 eine besondere Rolle, denn dann wechselt man in die nächsthöhere Stufe des Zahlensystems.

Das heißt, eine Uhrzahl kannst du dir als eine Zahl in einem Zahlensystem mit einer Basiszahl von 60 vorstellen: die Zahl 6:47 bedeutet, dass 6 mal 60 plus 47 Minuten, also 407 Minuten vergangen sind. Der Doppelpunkt ist dabei eine besondere Schreibweise für Uhrzeiten.

Also gilt im Endeffekt: 6:47 entspricht 407 Minuten.

Wie du siehst, kann die gleiche Zahl in verschiedenen Zahlensystemen unterschiedlich dargestellt werden.

Für Uhrzeiten findet der Sprung in die nächsthöhere Stufe nicht immer bei der 60 statt. Da ein Tag 24 Stunden braucht, findet der Wechsel in die Stufe Tag bei der 24 statt.

Die Zahl 3676 Minuten kannst du dann im neuen System als 1:1:16 (also ein Tag, eine Stunde und 16 Minuten) schreiben.

Gängige Zahlensysteme

Dieses Spiel können wir für beliebige Basiszahlen durchführen.

Wir stellen dir jetzt die 3 wohl am häufigsten verwendeten Zahlensysteme vor, bei denen die Basiszahlen 2, 10 und 16 betragen.

Basiszahl
  In einem Zahlensystem mit der Basiszahl N findet der Sprung in die nächste Stufe der Zahl immer bei den Potenzen der Basiszahl statt.

Dezimalsystem

Zahlen im Dezimalsystem sind Zahlen, die du aus dem Alltag gewohnt bist und haben als Basiszahl die 10.

Der Sprung zur nächsten Ziffer findet also bei den Potenzen der zehn statt, also bei \(10^0=1, \; 10^1=10, \; 10^2=100, \; 10^3=1000 \;\) usw.

Wie weiter oben erklärt, fügst du damit bei der 10, bei der 100, bei der 1000 usw. einfach eine 1 an der ersten Stelle deiner Zahl ein.

Binärsystem

Ein Computer sieht, wenn man ihm eine 11 einspeist, keine elf, sondern eine drei. Das liegt daran, dass Computer auf dem Binärsystem basieren.

Dessen Basiszahl ist die 2, das heißt bei der 2 findet der Wechsel in die nächsthöhere Stufe der Zahl statt und der Zahl wird eine Ziffer hinzugefügt.

Wie wir oben gesehen haben, bedeutet es, dass es genau zwei verschiedene Ziffern geben muss. Dann sprechen wir auch von einem Dualsystem.

In Analogie zu dem üblichen Zehnersystem nehmen wir dafür die ersten beiden Ziffern: die 0 und die 1.

Nehmen wir die Zahl 21 aus der Einleitung als Beispiel und drücken diese im Binärsystem aus.

Dafür können wir uns zuerst einmal die Potenzen der Basiszahl zwei notieren: \(2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32 \; \text{usw.} \).

Jetzt gilt es zu überlegen, wie wir die 21 aus diesen Potenzen zusammenbauen können:

  1. Wir brauchen mindestens einmal eine 16, da die Zahl sonst zu klein ist, eine 32 wäre jedoch zu groß. Dadurch können wir die erste Stelle unserer Zahl festhalten: \( N=1 x x x x \). Gleichzeitig wissen wir, wie viele Ziffern die Zahl haben muss. Denn alle Zahlen zwischen 16 und 31 haben im Binärsystem fünf Ziffern, so wie im Dezimalsystem beispielsweise alle Zahlen zwischen 100 und 999 3 Ziffern haben.
  2. Jetzt gehen wir weiter zur nächsten Zweierpotenz. Hier stellen wir uns die Frage, ob 16+8 größer oder kleiner als 21 ist. Da 24 größer als 21 ist, kann es nicht sein, dass die 8 in der 21 auftaucht und wir können die zweite Stelle als eine 0 festlegen: \( N=1 0 x x x \)
  3. Weiter zur nächste Stelle: Brauchen wir eine vier, um auf die 21 zu gelangen? Die Antwort ist ja, da 16+4 kleiner als 21 ist. Damit gilt \( N=1 0 1 x x \)
  4. Jetzt sind wir schon sehr nahe an der 21 dran: der Abstand zwischen 20 und 21 ist genau 1, aber an der zweitletzten Stelle würden wir eine 2 addieren. Das kann nicht sein, weshalb wir wieder eine 0 eintragen. \( N=1 0 1 0 x \)
  5. Zu guter Letzt können wir noch eine 1 addieren, wodurch wir genau auf die 21 kommen und unsere Zahl im Binärsystem ausgedrückt haben: \( N=1 0 1 0 1 \)

Dieses Verfahren können wir noch ein bisschen kompakter und übersichtlicher durchführen, wie wir dir im Abschnitt Zahlensysteme umrechnen erklären.

Hexidezimalsystem

Im Hexadezimalsystem ist nun die Zahl 16 die Basiszahl, das heißt, wir brauchen genau 16 verschiedene Ziffern. Für die ersten zehn Ziffern folgen wir dabei noch den Zahlen des Dezimalsystems, dann brauchen wir aber neue Zeichen.

Diese folgen den ersten Buchstaben des Alphabets, das heißt wir haben die 16 Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Welche Zahl folgt also nach der Zahl „F“?

Die Antwort lautet 10. Das kann am Anfang verwirrend sein, denn die 10 im Hexadezimalsystem ist gleichbedeutend mit einer 16 im Dezimalsystem, aber im Prinzip werden die Zahlen genauso zusammengesetzt wie im Dezimalsystem.

Zahlensysteme umrechnen

Nun erklären wir dir noch einmal genauer, wie du von den verschiedenen Zahlensystemen ineinander umrechnest.

Dezimal umrechnen

Dezimal <-> binär

  1. Teile die Zahl durch 2. Dabei bleibt entweder ein Rest übrig (wenn die Zahl ungerade ist) oder kein Rest übrig (wenn die Zahl gerade ist).
  2.  Der Rest, der bei der Division übrig bleibt, ist die nächste Ziffer (von rechts nach links).
  3. Das Ergebnis deiner Division teilst du dann wieder durch zwei, bis es nicht mehr weiter geht.

Wenden wir dieses Beispiel auf die oben verwendete Zahl 43 an:

  1. 43 : 2 = 21 Rest: 1
  2. 21 : 2 = 10 Rest: 1
  3. 10 : 2 = 5 Rest: 0
  4. 5 : 2 = 2 Rest: 1
  5. 2 : 2 = 1 Rest: 0
  6. 1 : 2 = 0 Rest: 1

Damit kannst du die Zahl von unten nach oben ablesen: im Binärsystem entspricht die Zahl 43 der Zahl 101011.

Außerdem gibt uns das eine natürliche neue Interpretation der Binärschreibweise der Zahl: sie dokumentiert, ob die Teiler einer Zahl durch Zweierpotenzen gerade oder ungerade sind.

Was passiert also, wenn eine Zahl ein Produkt aus Zweien ist? Dann werden alle Teiler der Zahl (bis auf den letzten) gerade sein.

Wenden wir das auf Schema auf die Zahl 64 an:

  1. 64 : 2 = 32 Rest: 0
  2. 32 : 2 = 16 Rest:0
  3. 16 : 2 = 8 Rest: 0
  4. 8 : 2 = 4 Rest: 0
  5. 4 : 2 = 2 Rest: 0
  6. 2 : 2 = 1 Rest: 0
  7. 1 : 2 ist kleiner eins —>Rest: 1

Damit ist die Zahl 64 im Binärsystem ausgedrückt eine 1000000, so wie auch im Dezimalsystem eine eins mit vielen Nullen Potenzen der Basiszahl repräsentiert.

Dezimal <-> hexadezimal

Das Verfahren zur Umwandlung ist im Prinzip ganz analog zur Umwandlung ins Binärsystem, nur dass die Reste etwas komplizierter und durch die Verwendung von Buchstaben zunächst etwas ungewohnt sind.

  1. Teile die Zahl durch 16. Dabei bleibt entweder ein Rest übrig.
  2.  Der Rest, der bei der Division übrig bleibt, ist die nächste Ziffer (von rechts nach links). Dieser Rest kann auch ein Buchstabe sein, falls er größer als 9 ist.
  3. Das Ergebnis deiner Division teilst du dann wieder durch 16, bis es nicht mehr weiter geht.

Für die schon oben verwendete Zahl 43 können wir also durchrechnen:

  1. 43 : 16 = 2 Rest: 11 –> Ziffer: B
  2. 2 : 16 = 0 Rest: 2 –> Ziffer: 2

Damit entspricht die Zahl 43 in Hexdezimal-Schreibweise 2B.

Das gleiche Verfahren können wir nun auch noch für die 64 durchführen:

  1. 64 : 16 = 4 Rest: 0 –> Ziffer: 0
  2. 4 : 16 = 0 Rest: 2 –> Ziffer: 4

Damit entspricht die Zahl 64 in Hexdezimal-Schreibweise der Zahl 40.

Binär umrechnen

Binär <-> dezimal

Jede Stelle der Zahl hat den Wert der entsprechenden 2er-Potenz, wie wir oben schon am Beispiel der 21 durchgegangen sind.

Wir multiplizieren also jede Ziffer mit der entsprechenden Potenz und summieren. Gehe am besten von rechts nach links vor, da die erste Ziffer von rechts einfach der 1 entspricht und du dir deshalb vorher keine Gedanken machen musst, wieviele Ziffern die Binärzahl hat.

Machen wir das an einem konkreten Beispiel fest: wandeln wir die Zahl 101011 in das Dezimalsystem um:

  1.  1 · 1 = 1
  2.  1 · 2 = 2
  3.  0 · 4 = 0
  4.  1 · 8 = 8
  5.  0 · 16 = 0
  6.  1 · 32 = 32

Addition aller Summanden liefert das Endergebnis: 1+2+8+32=43.

Binär <-> hexadezimal

Dafür verwendest du am besten ein zusammengesetztes Verfahren: du wandelst erst die Binärzahl in eine Dezimalzahl um, die im vorherigen Schritt beschrieben wurde, und anschließend die Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl.

Noch einmal zur Zusammenfassung:

  1. Teile die Zahl durch 16. Dabei bleibt ein Rest übrig (wenn der Rest null ist, trägst du einfach eine Null ein).
  2.  Der Rest, der bei der Division übrig bleibt, ist die nächste Ziffer (von rechts nach links). Die Ziffer kann auch ein Buchstabe sein, falls der Rest größer als 9 ist.
  3. Das Ergebnis deiner Division wird wieder durch 16 geteilt, bis es nicht mehr weiter geht.

Einsetzen der 43 liefert also:

  1. 43 : 16 = 2 Rest: 11 –> Ziffer: B
  2. 2 : 16 = 0 Rest: 2 –> Ziffer: 2

Hexadezimal umrechnen

Zu guter Letzt erklären erklären wir dir, wie man Hexadezimalzahlen in das Dezimalsystem und das Binärsystem umrechnen kann.

Hexadezimal <-> dezimal

Jede Ziffer einer Hexadezimalzahl hat den Wert einer Potenz der Zahl 16, das heißt die Ziffer am rechten Rand entspricht \( 16^0=1 \), die zweite von rechts \( 16^1=16 \) usw.

Du musst also jede Ziffer der Zahl mit der entsprechenden 16-er-Potenz multiplizieren und dann am Ende alle Faktoren zusammenrechnen.

Damit du dir vorher keine Gedanken über die Länge der Zahl machen musst, ist es wieder am einfachsten von rechts nach links vorzugehen.

Machen wir das wieder an einem Beispiel fest: wie lautet die Zahl 2F1 im Dezimalsystem?

  1. 1: 1 · 1 = 1
  2. F: 15 · 16 = 240
  3. 2: 2 · 256 = 512
  4. Summation: 1+240+512=753

Hexadezimal <-> binär

Diese Umwandlung findet wieder zweistufig statt. Du wandelst die Zahl erst ins Dezimalsystem um, um anschließend die Dezimalzahl ins Binärsystem umzuschreiben.

Für das Beispiel 2F1 bedeutet das:

  1. 753 : 2 = 376 Rest: 1
  2. 376 : 2 = 188 Rest: 0
  3. 188 : 2 = 94 Rest: 0
  4. 94 : 2 = 47 Rest: 0
  5. 47 : 2 = 23 Rest: 1
  6. 23 : 2 = 11 Rest: 1
  7. 11 : 2 = 5 Rest: 1
  8. 5 : 2 = 2 Rest: 1
  9. 2 : 2 = 1 Rest: 0
  10. 1 : 2 = 0 Rest: 1

Ablesen der Reste von unten nach oben gibt die Binärzahl 1011110001.

Zahlensystem umrechnen mit dem Horner-Schema

Zahlen lassen sich auch über Polynome ausdrücken.

Basiszahl

Zahlensysteme sind nichts anderes als die Darstellung einer Zahl über ein Polynom in der jeweiligen Basiszahl.

Betrachten wir ein Polynom dritten Grades:

\( f(x)= ax^3+bx^2+cx+d x^0 \)

Falls wir nun für x eine Basiszahl einsetzen, werden die Koeffizienten der Zahl zu den Ziffern des Polynoms. Die Zahl 4321 lässt sich beispielsweise schreiben über das Polynom

\( 4321= 4\cdot 10^3+3\cdot 10^2+2\cdot 10+1 \cdot 10^0 \).

An dieser Stelle kann das Horner-Schema hilfreich sein. Vielleicht hast du schon davon gehört: Es wird häufig im Zusammenhang der Polynomdivision angewendet.

Dennoch eignet es sich auch zur Umrechnung von Zahlensystemen ineinander.

In einem Polynom dritten Grades tauchen Potenzen bis zur dritten Ordnung auf, zum Beispiel in folgendem Polynom:

\( 1 + 2x – 3x^2 -4x^3 \).

Diese Potenzen können wir nun loswerden, indem wir die Variable des Polynoms stückweise ausklammern.

\( 1 + 2x – 3x^2 -4x^3 \;=\; ((( -4 \cdot x – 3 ) \cdot x + 2 )  \cdot x + 1\).

Das heißt, das Polynom wird geschachtelt in einzelne Faktoren, in denen x nur einmal auftaucht (also kein \(  x^2 \) oder\(  x^3 \) mehr).

Die Pointe ist, dass sich dieses Schema nun auch zur Darstellung von Zahlen gebrauchen lasst, da sich eine Zahl als Polynom in der Basiszahl schreiben lässt.

Schauen wir uns ein Beispiel an: wir nehmen uns wieder die Binärzahl 101011 aus unseren obigen Umwandlungen an.

Das grundlegende Polynom lautet nun also

\( 4321= 1\cdot 2^6+ 0\cdot 2^5+1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+1\cdot 2^1+1 \cdot 2^0 \).

Im Horner-Schema schreiben wir dieses als

\( ((((( 1 \cdot 2 +0) \cdot 2 + 1)\cdot 2 + 0) \cdot 2 + 1)   \cdot 2 + 1\).

Mit Hilfe dieser Darstellung können wir nun auch vereinfacht die Umwandlung in das Dezimalsystem durchführen, da die Klammerung uns ganz natürlich das schrittweise Ausrechnen des Produktes erlaubt, und es uns erspart, möglicherweise sehr hohe Potenzen der Basiszahl im Vorhinein ausrechnen zu müssen.

Wir können nun also einfach die Klammern nacheinander auflösen:

  1. \(  1 \cdot 2=2 \)
  2. \(  ( 1 \cdot 2 +0) \cdot 2=4 \)
  3. \(  ( 4 +1) \cdot 2=10 \)
  4. \(  ( 10 +0) \cdot 2=20 \)
  5. \(  ( 20 +1) \cdot 2=42 \)
  6. \(  42+1=43 \)

Das Horner-Schema lässt sich auch für Umwandlungen aus dem Hexadezimalsystem anwenden: oben hatten wir uns das Beispiel der Zahl 2F1 angeschaut.

Diese können wir nun nach dem Horner-Schema auch schreiben als

\( (2 \cdot 16 + 15) \cdot 16 + 1  = 753 \).

Weitere Zahlensysteme umrechnen

Die hier vorgestellte Verfahren kannst du im Prinzip für beliebige Zahlesysteme mit beliebiger Basiszahl N und beliebigen Ziffern durchrechnen.

Um eine Zahl aus dem Dezimalsystem in dieses neue Zahlensystem umzurechnen, kannst du dabei immer folgendem Schema folgen:

Basiszahl
  1. Teile die Zahl durch die Basiszahl N. Dabei bleibt ein Rest übrig (außer für die Null, für die du einfach eine Null einträgst).
  2.  Der Rest, der bei der Division übrigbleibt, ist die nächste Ziffer (von rechts nach links). Dabei musst du für eine Rest R die Ziffer eintragen, die in dem Zahlensystem an der R-ten Stelle steht.
  3. Das Ergebnis deiner Division teilst du dann wieder durch N, bis es nicht mehr weiter geht.

Aufgaben & Lösungen

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Zahlensysteme mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Drücke folgende Zahlen im Dezimalsystem aus:

  • \(1. Binär: 1111 \)
  • \(2.  Binär: 10010110\)
  • \(3. Hexaldezimal:  AB \)
  • \(4. Hexaldezimal:  111 \)

Drücke folgende Zahlen im Binärsystem aus:

  • \( 5. Dezimal: 29\)
  • \(6. Dezimal: 128 \)
  • \(7. Hexadezimal: 1A \)

Drücke folgende Zahlen im Hexadezimalsystem aus:

  • \(8. Dezimal: 44\)
  • \(9. Dezimal: 100 \)
  • \(10. Binär: 10010110 \)

Lösungen

Lösungen
  1. \( 15\)
  2. \( 150 \)
  3. \( 171 \)
  4. \( 273 \)
  5. \( 11101 \)
  6. \( 10000000 \)
  7. \( 11010 \)
  8. \( 2C\)
  9. \( 64 \)
  10. \( 96 \) 
Manuel

Manuel hat in Heidelberg Physik studiert. Dabei konnte er sich davon überzeugen, dass die häufig getroffene Aussage, dass man Mathematik im späteren Leben nicht mehr braucht, ziemlich ungerechtfertigt ist.

Mathematik ist die Sprache der Physik und damit im übertragenen Sinn die Sprache der Natur. Dadurch legt sie faszinierende Zusammenhänge offen und vermittelt eine Denkweise, die auch im Alltag oft sehr hilfreich ist.

In seiner Freizeit macht Manuel Musik, liest viel (von Goethe bis zu Fantasy-Romanen über Oger) und reist gerne durch die Welt.

Pirabel