Zinsrechnung

Kapitel aktualisiert am 02.08.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Zinsrechnung im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir, wie die Zinsrechnung mit der Prozentrechnung zusammenhängt, wie du Zinsen, den Zinssatz, das Kapitel und den Zeitraum berechnest, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Die Zinsrechnung

Definition
Die Zinsrechnung (auch: Zinsenrechnung) ist eine Anwendung der Prozentrechnung zur Berechnung von Zinsen, die als Entgelt auf geliehene Geldbeträge erhoben wird.

Stell dir vor, du bekommst von deiner Oma 1.000 € zum Geburtstag geschenkt und deine Eltern empfehlen dir, das Geld auf einem Sparkonto anzulegen, damit es verzinst wird.

Da du dein Geld für einen bestimmten Zeitraum bei der Bank auf einem Konto angelegt und es sozusagen der Bank „geliehen“ hast, bekommst du beim Abheben mehr Geld als zuvor. Je nachdem wie hoch die Zinsen sind, wie viel Geld du angelegt hast und wie lange du gewartet hast, unterscheidet sich der Geldbetrag, den du am Ende bekommst. In diesem Kapitel zeigen wir dir, wie du das alles ganz einfach berechnen kannst.

Vergleich mit Prozentrechnung

Zunächst einmal klären wir wichtige Begriffe – einige davon im Vergleich zur Prozentrechnung.

  • Kapital K: ist der Grundwert (also das Geld, das du anlegst)
  • Zinssatz p%: ist der Prozentsatz, um den sich dein Kapital vermehrt
  • Zinsen Z: sind der Prozentwert, welches du durch den Zinssatz zusätzlich zu deinem Kapital erhältst
  • Anzahl der Monate m
  • Anzahl der Tage t

Deutsche Banken rechnen bei der Zinsrechnung mit folgenden Zahlen:

  • 1 Jahr = 360 Tage
  • 1 Monat = 30 Tage

Zinsen berechnen

Wenn du dein Startkapital K und den Zinssatz p, zu dem du dein Kapital anlegst, kennst, kannst du mit diesen Formeln ganz einfach berechnen, wie hoch deine Zinsen nach einem Jahr, mehreren Monaten oder Tagen stehen.

Dazu setzt du dein Kapital, den Zinssatz und gegebenenfalls die Anzahl der Tage oder Monate in die Formel ein, die du brauchst und erfährst somit ganz einfach, wie viele Zinsen du nach einem bestimmten Zeitraum bei deiner Bank mit diesem Zinssatz erhältst.

Jahreszinsen: \(Z = \frac{K \cdot p } {100} \)

Monatszinsen: \(Z = \frac{K \cdot p \cdot m } {100 \cdot 12} \)

Tageszinsen: \(Z = \frac{K \cdot p \cdot t } {100 \cdot 360} \)

Zinssatz berechnen

Nehmen wir nun an, dass du dein Kapital in der Hand hast und ganz genau weißt, wie viel Zinsen du nach einem bestimmten Zeitraum bekommen möchtest.

Um dein Geld jetzt zum richtigen Zinssatz anzulegen, damit du deine erstrebten Zinsen bekommst, musst du den dafür erforderlichen Zinssatz kennen. Das kannst du mit den folgenden Formeln berechnen:

Zinssatz für ein Jahr: \(p = \frac{Z \cdot 100 } {K} \)

Zinssatz für ein Monat: \(p = \frac{Z \cdot 1200 } {K \cdot m} \)

Zinssatz für ein Tag: \(p = \frac{Z \cdot 36000 } {K \cdot t} \)

Kapital berechnen

Nehmen wir jetzt an, dass du nicht dein ganzes Kapital anlegen möchtest. Du kennst schon den Zinssatz deiner Bank und die Zinsen, die du nach einem gewissen Zeitraum bekommen möchtest.

Mit den folgenden Formeln, kannst du dann berechnen, wie viel du von deinem Kapital anlegen musst, um deine gewünschte Höhe an Zinsen zu erhalten.

Kapital Jahr: \(K = \frac{Z \cdot 100 } {p} \)

Kapital Monat: \(K = \frac{Z \cdot 1200 } {p \cdot m} \)

Kapital Tag: \(K = \frac{Z \cdot 36000 } {p \cdot t} \)

Zeitraum berechnen

Um herauszufinden, nach wie vielen Tagen oder Monaten du die gewünschte Höhe an Zinsen erhältst, rechnest du mit den folgenden Formeln, indem du Kapital, Zinsen und Zinssatz einsetzt:

Zeitraum (in Monaten): \( m = \frac{Z \cdot 1200 } {K \cdot p} \)

Zeitraum (in Tagen): \( t = \frac{Z \cdot 36000 } {K \cdot p} \)

Beispiele

1. Beispiel: Zinsen berechnen
Nehmen wir doch gleich das Beispiel aus der Einleitung. Du hast von deiner Oma 1.000 € geschenkt bekommen und legst das auf der Bank mit einem Zinssatz von 5 % an.

Wie hoch sind deine Zinsen nach einem Jahr?

Jahreszinsen: \(Z = \frac{K \cdot p } {100} \\ Z = \frac{1.000€ \cdot 5 } {100}  = \frac{5000€} {100}  = 50€ \)

Das heißt du bekommst Jahreszinsen in Höhe von 50 € und hast somit nach einem Jahr 1.050 €.

Wie hoch sind deine Zinsen nach 6 Monaten?

Monatszinsen: \(Z = \frac{K \cdot p \cdot m } {100 \cdot 12} \\ Z = \frac{1.000€ \cdot 5 \cdot 6 } {100 \cdot 12} = \frac{30.000 € } {1200} = 25 € \)

Also bekommst du nach 6 Monaten 50 € Zinsen. Auf diese Weise kannst du deine Zinsen für jeden beliebigen Zeitraum ausrechnen.

2. Beispiel: Zinssatz berechnen
Du hast immer noch die 1.000 € von deiner Oma zur Verfügung und möchtest deinem Bruder zum Geburtstag neue Kopfhörer schenken. Er hat in 7 Monaten Geburtstag und sein Geschenk kostet 60 €.

Zu welchem Zinssatz solltest du dein Kapital anlegen, damit du nach 7 Monaten genau 60 € Zinsen bekommst und somit von deinem Kapital nichts verloren geht?

Zinssatz für 7 Monate: \(p = \frac{Z \cdot 1200 } {K \cdot m} \\p = \frac{60€ \cdot 1200 } {1.000 € \cdot 7} = \frac{72000 €} {7.000 € } = 10,29 \)

Das heißt, wenn du die 1.000 € zu einem Zinssatz von 10,29 % 7 Monate anlegst, bekommst du 60 € Zinsen und kannst die Kopfhörer allein mit den Zinsen kaufen.

3. Beispiel: Kapital berechnen
Angenommen deine Bank ist so toll, dass sie sogar einen Zinssatz von 15 % anbietet und du hast keine Lust 7 Monate lang dein ganzes Geld nur für ein Geschenk anzulegen, sondern würdest dir gerne vorher schon etwas Taschengeld aus den 1.000 € nehmen.

Wieviel von deinem Kapital solltest du dann also bei einem Zinssatz von 15 % anlegen, damit du noch 7 Monaten die gewünschten 60 € Zinsen erhältst?

Kapital nach 7 Monaten: \(K = \frac{Z \cdot 1200 } {p \cdot m} \\ K = \frac{60 € \cdot 1200 } {15 \cdot 6} = K = \frac{72.000 € } {90} = 800 € \)

Du musst bei einem Zinssatz von 15 % also nur 800 € anlegen, damit du nach 7 Monaten das 60 € teure Geschenk allein durch Zinsen finanzieren kannst und hast 200 € Taschengeld.

4. Beispiel: Zeitraum berechnen
Jetzt würdest gerne wissen, wann sich dein Kapital verdoppelt, wenn du es auf deiner Bank mit einem Zinssatz von 15 % anlegst. Das heißt, wann die Zinsen genauso hoch sind wie dein Kapital, also auch 1.000 €, sodass du am Ende insgesamt 2000 € hast.

Zeitraum in Monaten: \( m = \frac{Z \cdot 1200 } {K \cdot p} \\ m = \frac{1.000 € \cdot 1200 } {1.000 € \cdot 15} = m = \frac{1.200.000 € } {15.000 €} = 80 Monate = 6 Jahre 8 Monate \)

Das heißt nach 6 Jahren und 8 Monaten hättest du mit einem Zinssatz von 15 % aus den 1.000 € genau 2.000 € gemacht!

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben für dich 10 Aufgaben zur Zinsrechnung mit Lösungen:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben
  1. Sei K = 50 €, p = 2 %. Wie hoch sind die Zinsen nach einem Jahr?
  2. Sei K = 200 €, p = 1,5 %. Wie hoch sind die Zinsen nach 3 Monaten?
  3. Sei K = 1.000.000 €, p = 5 %. Wie hoch sind die Zinsen nach einem Tag?
  4. Wie hoch muss der Zinssatz sein, damit du mit einem Kapital von 500 € nach einem Jahr Zinsen in Höhe von 100 € erhältst?
  5. Wie hoch muss der Zinssatz sein, damit du mit einem Kapital von 250 € nach 5 Monaten Zinsen in Höhe von 60 € erhältst?
  6. Wie hoch muss der Zinssatz sein, damit du mit einem Kapital von 1200€  nach 2 Wochen Zinsen in Höhe von 10 € erhältst?
  7. Wie viel Kapital musst du anlegen, damit du bei einem Zinssatz von 8 % nach einem Jahr 100 € Zinsen bekommst?
  8. Wie viel Kapital musst du anlegen, damit du bei einem Zinssatz von 2,5 % nach einem viertel Jahr 50 € Zinsen bekommst?
  9. Nach wie vielen Monaten verdoppelt sich dein Kapital von 350 € bei einem Zinssatz von 10 %?
  10. Nach wie vielen Jahren verdreifacht sich dein Kapital von 100 € bei einem Zinssatz von 5 %?
Lösungen
  1. Z = 1 €
  2. Z = 0,75 €
  3. Z = 138,89 €
  4. p = 20 %
  5. p = 57,6 %
  6. p = 21,43 %
  7. K = 1.250 €
  8. K = 6.000 €
  9. m = 120
  10. 60 Jahre
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