Zylinder: Volumen & Fläche berechnen

Kapitel aktualisiert am 07.08.2018

Dieses Kapitel behandelt den Zylinder als Teil der Geometrischen Figuren im Bereich der Geometrie. Wir erklären dir, wie ein Zylinder definiert wird, was die Höhe h und der Radius r sind und wie du die Ober-, Grund- und Mantelfläche sowie das Volumen berechnest. Im weiteren Verlauf dieses Kapitels findest du zwei Beispielberechnungen sowie Aufgaben und Lösungen zum selber lernen.

Definition eines Zylinders

Definition
Ein Zylinder (genauer: gerader Kreiszylinder) ist eine geometrische Figur, bestehend aus zwei parallel gegenüberliegenden Kreisflächen und einer rechteckigen Mantelfläche, die senkrecht auf den Kreisflächen steht.

Höhe und Radius

Zylinder – Höhe und Radius

Höhe und Radius vom Zylinder

Die Höhe h des Zylinders ist der Abstand der beiden Kreisflächen zueinander. Der Radius r des Zylinders ist der Radius der Kreisflächen.

Allein mit diesen beiden Angaben – also der Höhe h und dem Radius r des Zylinders – kannst du schon eine Menge berechnen, wie zum Beispiel den Flächeninhalt der Oberfläche, als auch das Volumen des Zylinders! Du fragst dich, wofür man das braucht?

Im Alltag tauchen Zylinder sehr oft auf. Seien es Gläser, aus denen man trinkt oder Röhre, die man verwendet. Daher ist es sehr nützlich zu wissen, wie man die Oberfläche oder das Volumen einer solchen Figur berechnet. Wir zeigen dir, wie das geht!

Oberfläche berechnen

Die gesamte Oberfläche ergibt sich aus der Summe der beiden Grundflächen und der Mantelfläche. Das heißt, du addierst den Flächeninhalt der Grundfläche unten, der Grundfläche oben und der Mantelfläche und somit hast du den gesamten Oberflächeninhalt: \(O=2\cdot G+M\)

Ausgeschrieben: \(O=2\cdot \pi\cdot r^2+2\pi \cdot r \cdot h \)

Grundfläche & Mantelfläche berechnen

Die Grundfläche G eines Zylinders ist eine Kreisfläche. Das heißt, den Flächenhinhalt der Grundfläche berechnest du mit der Formel für den Flächeninhalt einer Kreisfläche. Diese lautet: \(G=\pi \cdot r^2\)

Die Mantelfläche  M eines Zylinders ist eine rechteckige Fläche. Diese berechnest du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. Diese lautet normalerweise „Länge mal Breite“.

Im Falle eines Zylinders entspricht die Länge der Mantelfläche dem Umfang der Kreisfläche und die Breite der Mantelfläche entspricht der Höhe des Zylinders. Also gilt: \(M=U \cdot h \)

Ausgeschrieben: \(M=2\pi \cdot r \cdot h \)

Volumen berechnen

Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen, musst du die Grundfläche des Zylinders mit der Höhe des Zylinders multiplizieren. Die Formel lautet also: \(V = G \cdot h\)

Ausgeschrieben: \(V = 2\pi \cdot  r \cdot h\)

Damit du das ganze besser verstehst, haben wir zwei Beispiele für dich:

Beispiele

1.Beispiel:

Die Höhe unseres Beispiel-Zylinders sei \(h=5\) und der Radius \(r = 3\).

Wenn du jetzt den Oberflächeninhalt und das Volumen berechnen willst, setzt du die gegebenen Werte einfach in die Formeln ein:

\(O= 2 \cdot G + M \\ G = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 3^2 = \pi \cdot 9 = 28,27 \\ M = 2\cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 5 = 30 \cdot \pi =94,25 \\ O = 2 \cdot 28,27+94,25 = 150,79 \\\) \(V = G \cdot h \\ V = 28,27 \cdot 5=141,35\)

Es kann auch sein, dass du nicht die Höhe h und den Radius r gegeben hast, sondern den Oberlächeninhalt oder das Volumen und die Höhe oder den Radius ermitteln musst. Wie das geht, zeigen wir dir als nächstes an einem konkreten Beispiel:

2.Beispiel

Sei das Volumen eines Glases \(150 cm^2\) und der Radius \(3 cm\). Wenn du herausfinden möchtest, wie hoch das Glas ist, gehst du folgendermaßen vor:

Du hast das Volumen gegeben und kennst die Formel dazu: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot  h\)

Jetzt setzst du die gegebenen Werte für V und r ein und formst die Gleichung nach h um:

\( 150cm^2=\pi \cdot (3cm)^2 \cdot h \\ 150cm^2=\pi \cdot 9cm^2 \cdot h \\ 150cm^2=28,27cm^2 \cdot h \\ 5,31cm = h \\\)

Das heißt, das Glas hat eine Höhe von 5,31cm.

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zu Zylindern mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne die gesuchten Größen der folgenden Zylinder:

  1. Sei \(h=3cm\) und \(r=1cm\). Gesucht: Oberflächeninhalt O
  2. Sei \(h=10m\) und \(r=2,5m\). Gesucht: Volumen V
  3. Sei \(O=200m^2\) und \(r=4m\). Gesucht: Höhe h
  4. Sei \(V=50m^3\) und \(h=5m\). Gesucht: Radius r
  5. Sei \(h=4cm\) und \(r=3cm\). Gesucht: Oberflächeninhalt O
  6. Sei \(h=5cm\) und \(r=2cm\). Gesucht: Volumen V
  7. Sei \(O=15cm^2\) und \(r=1cm\). Gesucht: Höhe
  8. Sei \(V=35cm^3\) und \(h=3,5cm\). Gesucht: Radius r
  9. Sei \(O=100m^2\) und \(r=2m\). Gesucht: Volumen V
  10. Sei \(V=25m^3\) und \(h=1,5m\). Gesucht: Oberflächeninhalt O
Lösungen
  1. \(O = 25,13cm^2\)
  2. \(V = 196,3m^3\)
  3. \(h = 6,33m\)
  4. \(r = 1,78m\)
  5. \(O = 131,95cm^2\)
  6. \(V = 62,83cm^3\)
  7. \(h = 1,39cm \)
  8. \(r = 1,45cm\)
  9. \(V = 74,87m^3\)
  10. \(O = 723,6m^2\)
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